円形断面の鉄筋コンクリート

　当誘導について私は下記URLで貴殿と推す方の定義で誘導し,改めて吉田 徳次郎 博士の記号に合わせて以下に補います.
https://jsce.jp/pro/node/7648
　concreteの引張力を無視する場合,concreteの全圧縮力をC_c[N]とすれば,σ_cが生ずる点からz[mm],中心角φ[rad]での厚dz[mm]の微小要素に生ずる軸圧縮力(dC_c)[N]は,
　dC_c=r・sinφ・dz{r(cosφ+cosα)/[r(1+cosα)]}σ_c
　此処に,z=r(1-cosφ)
　　　　dz=r・sinφ・dφ
だから,
　dC_c=r^2・(sinφ)^2・[(cosφ+cosα)/(1+cosα)]σ_c・dφ.　(1)
　故に,対称性を考えて,
　C_c=[(2r^2・σ_c)/(1+cosα)]∫(sinφ)^2(cosφ+cosα)dφ(積分区間0～π-α)(2)
　　　=[(2r^2・σ_c)/(1+cosα)][(1/3)(sinφ)^3-(1/4)sin2φcosα+(φ/2)cosα](加法定理の倍角公式(sinφ)^2=(1/2)(1-cos2φ)に拠る.)(区間0～π-α)
　　　=[(2r^2・σ_c)/(1+cosα)]{(1/3)(sinα)^3+(1/2)sinα(cosα)^2+[(π-α)/2]cosα}.　(2)
　鉄筋総断面積(A_s)[mm^2]は,r_sの円周上に均等に配置し,鉄筋に働く全圧縮力をC_s[N]とすれば,Bernoulli-Euler(平面保持)の仮定に拠り,中心角φ
[rad]での微小要素に生ずる軸圧縮力(dC_s)[N]は,
　dC_s=[A_s/(2πr_s)]r_s・dφ・n・σ_s・{[r_s(cosφ+cosβ)]/[r_s(1+cosβ)]}
　　　=[A_s/(2π)]dφ・n・σ_s・[(cosφ+cosβ)/(1+cosβ)]　(3)
　此処に,σ_s:鉄筋の最大圧縮応力度[N/mm^2]
　　　　σ_s=σ_c・{[r_s(1+cosβ)]/(r+r_s・cosβ)}　(4)
　　　　β:鉄筋に最大引張応力度が生ずる位置から鉄筋中立軸迄の時計回り中心角[rad].
　r・cosα=r_s・cosβ.　(5)
　式(3),(4)に拠り,
　dC_s=[A_s/(2π)]dφ・n・σ_c・{[r_s(1+cosβ)]/(r+r_s・cosβ)}[(cosφ+cosβ)/(1+cosβ)]
　　　　=[A_s/(2π)]n・σ_c・{[r_s(cosφ+cosβ)]/(r+r_s・cosβ)}dφ.　(6)
　故に,対称性を考えて,
　C_s=2[n・A_s/(2π)]σ_c・[r_s/(r+r_s・cosβ)]∫(cosφ+cosβ)dφ(積分区間0～π)
　　　=n・A_s・σ_c・cosα/(1+cosα).　(式(5)に拠る.)　(7)
　平衡条件に拠り,
　N=C_c+C_s=[σ_c/(1+cosα)]{r^2[(2/3)(sinα)^3+sinα(cosα)^2+(π-α)cosα]+n・A_s・cosα}.(8)
　Nが断面の中心とを結ぶ線に直角な直径軸からe[mm]だけ偏心して,concreteに働く圧縮応力度[N/mm^2]に因る曲げmoment(M_c)[N・mm]は,対称性を考えて,
　M_c=∫dC_c・r・cosφ=2[r^3・σ_c/(1+cosα)]∫(sinφ)^2・cosφ(cosφ+cosα)dφ(積分区間0～π-α)
　　=[2r^3・σ_c/(1+cosα)]{φ/8-(1/32)sin4φ+(1/3)[cosα(sinφ)^3]}(加法定理の倍角公式(sinφ・cosφ)^2=[(1/2)sin2φ]^2=(1/8)(1-cos4φ)に拠る.)(区間0～π-α)
　　=[2r^3・σ_c/(1+cosα)]{(π-α)/8+(1/3)[cosα(sinα)^3+(1/32)sin4α]}.　(9)
　前と同じ直径軸に関して,鉄筋に働く圧縮応力度[N/mm^2]に因る曲げmoment(M_s)[N・mm]は,対称性を考えて,
　M_s=∫dC_s・r_s・cosφ=2[A_s/(2π)]n・σ_c・(r_s^2)/(r+r_s・cosβ)∫cosφ(cosφ+cosβ)dφ(積分区間0～π)
　　={(A_s/π)n・σ_c・(r_s^2)/[r(1+cosα)]}[cosβsinφ+φ/2+(1/4)sin2φ](加法定理の倍角公式(cosφ)^2=(1/2)(1+cos2φ)及び式(5)に拠る.)(区間0～π)
　　=A_s・n・σ_c・(r_s^2)/[2r(1+cosα)].　(10)
　平衡条件に拠り,
　M=M_c+M_s=[σ_c/(1+cosα)]〈r^3{(π-α)/4+(2/3)[cosα(sinα)^3]+(1/16)sin4α}+n・A_s・(r_s^2)/(2r)〉.(11)