起工測量について

＜平面座標について＞
３級や４級の基準点がないと言う事なら、基準点を求めていないのだから、任意に３級基準点との関係性のない、４級基準点網を作れば良いでしょう。
それをベースとして中心線測量、縦横断測量をすれば良いです。
但し、図面に座標値が載っているのであれば公共基準点を基に測量しているはずですから、成果は必ずあります。
＜高さの基準点について＞
図面にBMが示されていないのであれば、任意設定(例えば何処かを100.00mとかにする)で構わないでしょう。

起工測量というのは、公示された図面に間違いが無いかを確認する測量で、測量した成果が無いと起工測量とは言わず、今やろうとしていることは新規測量でしょうね。
当然、横断図があれば横断図の現況を確認する測量をします。

正直、何の工事をするのかが具体的に書かれていないのでよく分かりませんが、そもそも簡易な補修工事、例えば側溝取替え工事などなら基準点も不要ですし、高さも任意で構わないでしょうね。
より明確な測量方法を知りたいのであれば、どんな工事なのかを記載しないと腑に落ちる回答は得られないと思います。
いずれにしても、何をするにせよ、発注者への確認が必要なのは言うまでもありません。

市町村レベルでの簡単な道路改良等は平面図のみでの発注が少なからず存在します。
その場合、基準点に関係なく官民境界から5cm程度の離隔をとって側溝等の構造物を築造するというような条件で計画を作成します。
当然、周辺住民の出入りも考慮して施工側で縦・横断図を作成し施工承認を得ることも必要となります。
質問者の意図と違っているかもしれませんが、こんな事例もありますので参考までに。

疑問なのは、基準点なしに平面図が作成されているのでしょうか？それとも住宅地図のようなものが渡されたのでしょうか？

以下参考です。

1　平面図の確認。
　　道路台帳の附図か実測図か確認。
　　　附図の場合は基準点が記載されているか確認。
　　　基準点等がある場合は座標値を提供してもらう。
　　　　　附図の基準点間は位置関係が合わないことが多いので
　　　　　いずれかの点を基準にしてその他１点を方向のみ合わせる。
　　　実測図の場合は発注者へ基準点等の資料の有無を確認。

2-1　図面に基準点や図根点がないがトンボ(座標軸）が記載されいる。
　　　出来るだけ座標系を合わせるため、GNSS機器の単点観測で
　　　与点となる基準点を起終点に2点ずつ設置する。
　　　精度が気になる場合はスタティック観測を行う。

　　　その後結合トラバース測量を行い閉合比で精度の確認を行う。

　　　念のためトラバース点から図面に記載されている構造物等を
　　　観測して位置関係の確認を行う。

2-2　図面に座標の基準となるものがない。
　　　現地で適当に基準点を設置して開放トラバース測量を行い、
　　　図面に記載されている構造物等を観測してCAD上で位置合わせを
　　　行う。

3　道路の場合は線形を作成したいので、現地で道路中心線や
　　外側線、路肩構造物を観測する。
　　中央分離帯がある場合は中央分離帯や側帯も観測する。

　　直線区間なら10ｍピッチ、曲線区間なら5ｍピッチで
　　観測して中心線の特定を行う。

　　曲線の前後の直線部も観測して線形を組みやすくする。

　　あと、コントロールポイントになりそうな箇所の位置や
　　標高を観測しておく。

4　起終点及び中間点にKBMを設置する。
　　GNSS機器で観測した点の標高値をもとにKBMを設置する。
　　KBM間はレベルで往復観測を行い精度を確認する。

5　道路の中心線形が決定したら中心杭の計算を行う。
　　必要な中間点があれば合わせて作成する。

6　現地に設置した基準点から測点を測設する。
　　横断測量の方法にもよるがTSを横断線上に設置するなら
　　方向杭も設置しておく。

　　快速ナビなら任意の点から横断方向上を観測できると
　　思うので方向杭が不要なら設置しない。

7　道路中心点を設置後にレベルで縦断測量を行う。

8　快速ナビを使用して横断測量を行う。

9　現況の縦断面図と横断面図を作成する。

10　求められている内容に応じた縦断計画と横断計画を作成。

11　大まかな構造図の作成と留意事項をまとめる。
　　可能なら計画案を2案以上作成し概算工事費を積算する。

12　発注者と協議を行う。
　　片方の案を捨て案として「推し」の案で協議をまとめる。
　　計画案を採用してもらうにあたり、工事費の増減や
　　工期の延伸等についても協議しておく。