断面二次モーメントについて

断面二次モーメントが、いつ・どこで・だれによって・どのように定義されているかをご存じの方がいらっしゃいましたら教えて下さい。
文献を教えていただけるとありがたいです。

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#9866 Re: 断面二次モーメントについて

次のような文章があった (Wikipedia)
The term moment of inertia ("momentum inertiae" in Latin) was introduced by Leonhard Euler in his book

Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum

in 1765, and it is incorporated into Euler's second law.

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参考文献
The Science Of Mechanics by Dr. Ernst Mach, Publication date 1919, Publisher The Open Court Publishing Co.
Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata by Euler, Leonhard, Publication date 1765, Publisher Rostochium u.a.

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#9873 Re: 断面二次モーメントについて

質問者です。教えていただいてありがとうございました。
Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum
自分では探せなかったので、教えていただきとても助かりました。

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#9872 Re:断面2次moment定義補足

断面2次moment(moment of inertia of section)の最初定義は,梁の断面は曲げ変形後も平面を保持する(Daniel )Bernoulli(1700-1782)-Eulerの仮定に拠り,
Latin語でmomentum inertiaeとして「Leonhard Euler:Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum in 1765,pp.166,167」で下記の様に定義された(私が日本語を補足).
DEFINITIO.(定義)7.
Momentum inertiae corporis refpectu cujuspiam axis efi fumma omnium productorum,quae oriuntur,fi fingula corporis elementa per quadrata diftantiarum fuarum ab axe multiplicentur.
COROLL.(系)2.
Mementum ergo inertiae fpectari poteft tanquam productum ex maffa corporis in quadratum cujuspiam lineae:ita fi maffa corporis fuerit=M,ejus momentum refpectu cujusvis axis habebit hujusmodi formam Mkk.
COROLL.3.
Invento ergo momento inertiae corporis refpectu axis,circa quem id ante gyrari affumfimus,idque fuerit=Mkk,in formulis fupra inventis loco expreffionis ∫rrdM fcribi conveniet Mkk.
https://archive.org/details/theoriamotuscor00eulegoog/page/66/mode/1up
此れ等と考え方は同じで,日本で「平嶋政治・宮原玄:静定構造の解法,1988.,106」に,x,y軸に関する断面2次moment　I_x,I_yに関して次式で定義されている.
I_x=∫_A (y^2)dA,I_y=∫_A (x^2)dA[L^4]
此処に,A:断面積[L^2]L:長さの次元

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#9876 Re:断面2次moment定義補足2

#9867で挙げられた「Leonhard Euler:Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum」は不鮮明で羅和辞典に載らないLatin語を含み,私は記号が混同されぬ様にし,
単位をSI(国際単位系)で統一すると,momentum inertiaeは,
∫rrdm
此処に,dm:物体の微小質量[kg],r:回転軸からdm中心迄の距離[m]
即ち,慣性moment[kg・m^2]で,(軸からの距離)^2を乗ずる考え方は同じですが質問された断面2次momentは断面積に乗じ[m^2・m^2]=[m^4]で物理量が異なり,
「S Timoshenko:Strength of materials Part1,1955」で,pure bending(純曲げ)を受ける均一材直線梁の曲げ応力度
σ_x=Eε_x[N/m^2](1)
此処に,E:Young係数[N/m^2],ε_x:均一材料では中立軸と一致する梁縦断方向図心x軸方向の歪[1]
を下記の様に導出する過程で定義された.
ε_x=(s's_1)/(nn_1)=y/r. (2)
此処に,s's_1:x軸円弧長[m],nn_1:Bernoulli-Eulerの仮定下で,x軸との交点を原点とし引張側を正とする法線軸座標yでの円弧伸び量[m],r:x軸の曲率半径[m]
横断面の曲げmoment M[N・m]は,
∫(σ_x・y)dA=∫(Ey^2/r)dA≔(EI_z/r)=M.(3)
此処に,z:均一材料では一致する横断面図心(中立)軸,dA:微小断面積[m^2]
(1)～(3)に拠り,
σ_x=Ey/r=My/I_z.(4)
(3)で定義した断面2次moment I_z≔∫y^2 dA[m^4]が日本での設計に用いられている.

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#9877 Re:断面2次moment定義補足2

質問者です。
コメントありがとうございます。コメントにあるティモシェンコの材料力学史は、1955年　part1とあるのですが多分お高い方の本ですよね。
私は1983年のペーパーバックしかもっていないのですが、この内容は見つけらないでいます。（英語だからかもしれませんが）
私がずーっと探していた内容かもしれないので読んでみたいのですが、どなたの章か教えていだけますか。
それと、たわみ式（最大たわみδmax）の誘導の根拠が記載されている文献をご存じでしたら教えてください。

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#9878 Re:断面2次moment定義補足2

それともう一つ教えてもらっていもいいですか。
私は以前、論文の査読者からオイラー・ベルヌーイの仮定を使わずに証明してみろとふられ
オイラー・ベルヌーイの仮定を調べました。ネットwikiの情報に直角平面保持の仮定とあり、多くがそのように説明されていました。
変形後も梁の断面は直角を保つとあったので、その通りに書きました。
そうしたら、査読者2人からオイラーベルヌーイ梁の説明に誤りがあると言われました。
いま、先程のコメントを拝見して検索したのですが、ベルヌーイ、ナビエの仮定と言うのに直角保持の仮定と言うのがありそうなのです。
オイラーベルヌーイ梁の定義を原本に近い形でもう一度確認してみる必要がありそうなので、純粋にオイラーベルヌーイ梁の定義が読める文献
を教えて下さい。（ラテン語は無理なので、せめて英語でお願いします。）

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#9879 Re:断面2次moment定義補足2

私が纏めて前述した本は「S Timoshenko:Strength of materials Part1,3rd edition,1955」で下記は2nd editionですが断面2次momentの定義は変わらず,和訳は「材料力学上」
で,「材料力学史」と一部しか重なりません.
https://docs.google.com/file/d/0Bw8MfqmgWLS4NXhNSnpYNTZBZjg/edit?pli=1&…
私はChapter(章)Ⅳ Stresses in laterally loaded symmetrical beams行間を補い#9876に記しました.
直線梁撓み曲線の微分方程式に拠る解法について,「平嶋・宮原:静定構造の解法」を私が以下に補わせて頂きました.
一方の支点を原点とする梁の軸をx軸とし,曲げmomentに因る撓みv(x)[m]が支配的で設計では剪断変形を考慮せず,梁の接線とx軸との成す角をθ[rad]とすると微小接線長さds[m]は
ds=rdθ={(dx)^2+(dv)^2}^(1/2)即ち,1/r=dθ/ds(5)
此処に,dθ:円弧の微小中心角[rad]
撓みは微小とし,
tanθ=dv/dx即ち,θ=arctan(dv/dx)
dθ/ds=(dθ/dx)(dx/ds)={d arctan(dv/dx)/dx}dx/{(dx)^2+(dv)^2}^(1/2)=-{d(dv/dx)/dx}/{1+(dv/dx)^2}^(3/2)=-(d^2 v/dx^2)/{1+(dv/dx)^2}^(3/2)≈-(d^2 v/dx^2).(dv/dx≺1に拠った)(6)
(5),(6)に拠り,
1/r=-(d^2 v/dx^2)(7)
(4)に拠り,
1/r=M/(EI_z).(4')
(7),(4')を等置し,
d^2 v/dx^2=-M/(EI_z).(8)
例としてspan ℓ=a+b[m]である単純梁の支点Aをx軸原点とし,Aからa[m],支点Bからb[m]の位置に荷重P[N]が軸直角方向に作用する時,xに拠る微分階数を'の数で表すと,
0≤x_1≤a　　　　　　　　　　　　　　　a≤x_2≤ℓ
EI_z・v_1''=-Pbx_1/ℓ　　　　　　　　　　EI_z・v_2''==P(x_2-a)-Pbx_2/ℓ
EI_z・v_1'=-Pbx_1^2/(2ℓ)+c_1　　　　　　EI_z・v_2'=P(x_2-a)^2/2-Pbx_2^2/(2ℓ)+c_3
EI_z・v_1=-Pbx_1^3/(6ℓ)+c_1・x_1+c_2　EI_z・v_2=P(x_2-a)^3/6-Pbx_2^3/(6ℓ)+c_3・x_2+c_4
此処に,c_1,c_2,c_3,c_4:積分定数
境界条件
x_1=x_2=aでv_1'=v_2'だからc_1=c_3
x_1=x_2=aでv_1=v_2だからc_2=c_4
x_1=0でv_1=0だからc_2=0=c_4
x_2=ℓでv_2=0だからc_3=Pb(ℓ^2-b^2)/(6ℓ)=c_1
∴EI_z・v_1=-Pbx_1^3/(6ℓ)+Pb(ℓ^2-b^2)x_1/(6ℓ)
　EI_z・v_2=-Pbx_2^3/(6ℓ)+P(x_2-a)^3/6+Pb(ℓ^2-b^2)x_2/(6ℓ)
最大撓みは,EI_z・v_1'=0に拠りx_1={(ℓ^2-b^2)/3}^(1/2)で生じ,δ_max=Pb(ℓ^2-b^2)^(3/2)/{9・3^(1/2)・EI_z・ℓ}.
他に特別な点の撓みを求めるのに有効なMohrの定理,補仮想仕事の原理(Castiglianoの第2定理)が有ります.
文献として,前記の他,私が早大で修得した「宮原・平嶋:不静定構造の解法」,「村上博智・菊田征勇:土木構造力学」を挙げます.
「平嶋・宮原:静定構造の解法」に記されたBernoulli-Eulerの仮定は,前記の他に「梁の断面は変形後も平面を保つ.」で,私が東北大で構造を修得した下記の「岩熊哲夫・小山茂:構造と
連続体の力学基礎,p140」でも同内容とされ,文責が無いWikipediaは誤っている事が有ると指導され,原著又は確かな専門書で捉えています.
http://tedrockbear.s239.xrea.com/nisikozo.pdf
直線・曲り梁共に平面保持の仮定を用い,上記の文献で済まなければ,何をBernoulli-Eulerの仮定を用いず証明せよと査読者から振られたか支障無ければ示されれば出来る範囲で対応します.

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