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私が纏めて前述した本は「S Timoshenko:Strength of materials Part1,3rd edition,1955」で下記は2nd editionですが断面2次momentの定義は変わらず,和訳は「材料力学 上」
で,「材料力学史」と一部しか重なりません.
https://docs.google.com/file/d/0Bw8MfqmgWLS4NXhNSnpYNTZBZjg/edit?pli=1&…
私はChapter(章)Ⅳ Stresses in laterally loaded symmetrical beams行間を補い#9876に記しました.
直線梁撓み曲線の微分方程式に拠る解法について,「平嶋・宮原:静定構造の解法」を私が以下に補わせて頂きました.
一方の支点を原点とする梁の軸をx軸とし,曲げmomentに因る撓みv(x)[m]が支配的で設計では剪断変形を考慮せず,梁の接線とx軸との成す角をθ[rad]とすると微小接線長さds[m]は
ds=rdθ={(dx)^2+(dv)^2}^(1/2)即ち,1/r=dθ/ds(5)
此処に,dθ:円弧の微小中心角[rad]
撓みは微小とし,
tanθ=dv/dx即ち,θ=arctan(dv/dx)
dθ/ds=(dθ/dx)(dx/ds)={d arctan(dv/dx)/dx}dx/{(dx)^2+(dv)^2}^(1/2)=-{d(dv/dx)/dx}/{1+(dv/dx)^2}^(3/2)=-(d^2 v/dx^2)/{1+(dv/dx)^2}^(3/2)≈-(d^2 v/dx^2).(dv/dx≺1に拠った)(6)
(5),(6)に拠り,
1/r=-(d^2 v/dx^2)(7)
(4)に拠り,
1/r=M/(EI_z).(4')
(7),(4')を等置し,
d^2 v/dx^2=-M/(EI_z).(8)
例としてspan ℓ=a+b[m]である単純梁の支点Aをx軸原点とし,Aからa[m],支点Bからb[m]の位置に荷重P[N]が軸直角方向に作用する時,xに拠る微分階数を'の数で表すと,
0≤x_1≤a　　　　　　　　　　　　　　　a≤x_2≤ℓ
EI_z・v_1''=-Pbx_1/ℓ　　　　　　　　　　EI_z・v_2''==P(x_2-a)-Pbx_2/ℓ
EI_z・v_1'=-Pbx_1^2/(2ℓ)+c_1　　　　　　EI_z・v_2'=P(x_2-a)^2/2-Pbx_2^2/(2ℓ)+c_3
EI_z・v_1=-Pbx_1^3/(6ℓ)+c_1・x_1+c_2　EI_z・v_2=P(x_2-a)^3/6-Pbx_2^3/(6ℓ)+c_3・x_2+c_4
此処に,c_1,c_2,c_3,c_4:積分定数
境界条件
x_1=x_2=aでv_1'=v_2'だからc_1=c_3
x_1=x_2=aでv_1=v_2だからc_2=c_4
x_1=0でv_1=0だからc_2=0=c_4
x_2=ℓでv_2=0だからc_3=Pb(ℓ^2-b^2)/(6ℓ)=c_1
∴EI_z・v_1=-Pbx_1^3/(6ℓ)+Pb(ℓ^2-b^2)x_1/(6ℓ)
　EI_z・v_2=-Pbx_2^3/(6ℓ)+P(x_2-a)^3/6+Pb(ℓ^2-b^2)x_2/(6ℓ)
最大撓みは,EI_z・v_1'=0に拠りx_1={(ℓ^2-b^2)/3}^(1/2)で生じ,δ_max=Pb(ℓ^2-b^2)^(3/2)/{9・3^(1/2)・EI_z・ℓ}.
他に特別な点の撓みを求めるのに有効なMohrの定理,補仮想仕事の原理(Castiglianoの第2定理)が有ります.
文献として,前記の他,私が早大で修得した「宮原・平嶋:不静定構造の解法」,「村上博智・菊田征勇:土木構造力学」を挙げます.
「平嶋・宮原:静定構造の解法」に記されたBernoulli-Eulerの仮定は,前記の他に「梁の断面は変形後も平面を保つ.」で,私が東北大で構造を修得した下記の「岩熊哲夫・小山茂:構造と
連続体の力学基礎,p140」でも同内容とされ,文責が無いWikipediaは誤っている事が有ると指導され,原著又は確かな専門書で捉えています.
http://tedrockbear.s239.xrea.com/nisikozo.pdf
直線・曲り梁共に平面保持の仮定を用い,上記の文献で済まなければ,何をBernoulli-Eulerの仮定を用いず証明せよと査読者から振られたか支障無ければ示されれば出来る範囲で対応します.