安全旗と安全衛生旗の使い分けで

興味があるので調べてみました。
中災防の下記の資料が一番わかりやすいと思います。
https://www.jisha.or.jp/chushikoku/pdf/flag3.pdf

・安全旗（白地に緑十字）
　安全週間のシンボルマークとして、日本で初めて制定。
　大正８年に提案。昭和２年に国として了承。

・労働衛生旗（緑地に白十字）
　労働衛生を象徴するものとして、
　昭和２８年に労働省の公募により制定。

・安全衛生旗（緑地に白十字、その中に緑十字）
　安全と労働衛生は密接な関係にあるものとして、
　昭和４０年に中災防の公募により制定。

ということで、その旗の成り立ちから勘案すれば

・安全旗・・・全国安全週間および準備期間（６月１日～７月７日）
・労働衛生旗・・・全国労働衛生週間および準備期間（９月１日～１０月７日）
・安全衛生旗・・・上記以外の期間

とするのが一番しっくりくるのかな、と思います。
（中災防の資料でも、そのように提案されております。）