Changの式の地中部最大髷モーメントについて質問させて頂きます。 道路土工でよく見かける式のMm=-H/2β(√(1+2βh)^2+1)×e^-βlm の導出過程ですが、地中部の曲げモーメントの式にlmの値を代入しても求まらないのですが、分かる方いますでしょうか？ 計算過程も含めて教えて下さい。
仮設工指針P154の式でやり直してみてください。
式は合っているように思います。 仮設工指針のp154もH→P、β ℓm→導出過程のarc tanの式のまま表示、しているだけで同じ式。 地中部最大曲げモーメントMmaxの値がおかしいということであれば、要因として例えば以下のような点を確認してみては。 設計地盤面位置、その位置での水平力H0（あるいはM0＝地盤面から上の水平合力H0×作用点高h) 計算の単位奥行きと壁剛性（β）算出の奥行き ℓm ＝ arc tan（ ）の計算 等
地表面からh[m]の高さに水平方向力H[kN]のみ作用した時,地表面からx[m]の深さで地中杭に生ずる曲げmomentM_2[kN・m]は道示(文献)に拠り, M_2=(-H/β)e^(-βx){βhcos(βx)+(1+βh)sin(βx)}.(1) 此処に,β≔{k_H・D/(4EI)}^(1/4)[m^-1],E:杭のYoung(弾性)係数[kN/m^2],I:杭の断面2次moment[m^4],D:杭の直径[m],e:Napier数≈2.71828 最大曲げmomentが生ずる深さx=ℓ_m[mm]でM_2は極大値を取るから,xに関する積の微分公式に拠り, dM_2/dx=(-H/β)[(-β)e^(-βx){βhcos(βx)+(1+βh)sin(βx)}+e^(-βx){(-β^2・h)sin(βx)+(1+βh)βcos(βx)}] =(-H/β)e^(-βx)[(-β){βhcos(βx)+(1+βh)sin(βx)}+{(-β^2・h)sin(βx)+(1+βh)βcos(βx)}]=0 (-H/β)e^(-βx)<0に拠り, βcos(βx)-β(1+2βh)sin(βx)=0. ∴tan(βx)=1/(1+2βh) 即ち,βℓ_m=arc tan{1/(1+2βh)}∴ℓ_m=(1/β)arc tan{1/(1+2βh)}.(2) ∴{cos(βx)}^2=1/[1+{tan(βx)}^2}] ∴cos(βx)=1/[1+{tan(βx)}^2}]^(1/2)=1/[1+{1/(1+2βh)}^2}]^(1/2)=(1+2βh)/[(1+2βh)^2+1]^(1/2).(2') 式(1)に式(2),(2')を代入して, M_2m=(-H/β)e^(-βℓ_m)・cos(βℓ_m){βh+(1+βh)tan(βℓ_m)} =(-H/β)e^(-βℓ_m)・[(1+2βh)/{(1+2βh)^2+1}^(1/2)]・{βh+(1+βh)/(1+2βh)}. =(-H/β)e^(-βℓ_m)・[1/{(1+2βh)^2+1}^(1/2)]・{βh(1+2βh)+1+βh} =(-H/β)e^(-βℓ_m)・[1/{(1+2βh)^2+1}^(1/2)]{(1+2βh)^2+1}/2 =(-H/2β)e^(-βℓ_m)・{(1+2βh)^2+1}^(1/2) 文献 日本道路協会:道路橋示方書Ⅳ下部構造編,pp.366,367,1996.
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コメント
#9813 Re: Changの式の地中部最大曲げモーメントについて
仮設工指針P154の式でやり直してみてください。
#9814 Re: Changの式の地中部最大曲げモーメントについて
式は合っているように思います。
仮設工指針のp154もH→P、β ℓm→導出過程のarc tanの式のまま表示、しているだけで同じ式。
地中部最大曲げモーメントMmaxの値がおかしいということであれば、要因として例えば以下のような点を確認してみては。
設計地盤面位置、その位置での水平力H0（あるいはM0＝地盤面から上の水平合力H0×作用点高h)
計算の単位奥行きと壁剛性（β）算出の奥行き
ℓm ＝ arc tan（ ）の計算
等
#9815 Re: Chang式に拠る地中最大曲げmoment
地表面からh[m]の高さに水平方向力H[kN]のみ作用した時,地表面からx[m]の深さで地中杭に生ずる曲げmomentM_2[kN・m]は道示(文献)に拠り,
M_2=(-H/β)e^(-βx){βhcos(βx)+(1+βh)sin(βx)}.(1)
此処に,β≔{k_H・D/(4EI)}^(1/4)[m^-1],E:杭のYoung(弾性)係数[kN/m^2],I:杭の断面2次moment[m^4],D:杭の直径[m],e:Napier数≈2.71828
最大曲げmomentが生ずる深さx=ℓ_m[mm]でM_2は極大値を取るから,xに関する積の微分公式に拠り,
dM_2/dx=(-H/β)[(-β)e^(-βx){βhcos(βx)+(1+βh)sin(βx)}+e^(-βx){(-β^2・h)sin(βx)+(1+βh)βcos(βx)}]
=(-H/β)e^(-βx)[(-β){βhcos(βx)+(1+βh)sin(βx)}+{(-β^2・h)sin(βx)+(1+βh)βcos(βx)}]=0
(-H/β)e^(-βx)<0に拠り,
βcos(βx)-β(1+2βh)sin(βx)=0.
∴tan(βx)=1/(1+2βh)
即ち,βℓ_m=arc tan{1/(1+2βh)}∴ℓ_m=(1/β)arc tan{1/(1+2βh)}.(2)
∴{cos(βx)}^2=1/[1+{tan(βx)}^2}]
∴cos(βx)=1/[1+{tan(βx)}^2}]^(1/2)=1/[1+{1/(1+2βh)}^2}]^(1/2)=(1+2βh)/[(1+2βh)^2+1]^(1/2).(2')
式(1)に式(2),(2')を代入して,
M_2m=(-H/β)e^(-βℓ_m)・cos(βℓ_m){βh+(1+βh)tan(βℓ_m)}
=(-H/β)e^(-βℓ_m)・[(1+2βh)/{(1+2βh)^2+1}^(1/2)]・{βh+(1+βh)/(1+2βh)}.
=(-H/β)e^(-βℓ_m)・[1/{(1+2βh)^2+1}^(1/2)]・{βh(1+2βh)+1+βh}
=(-H/β)e^(-βℓ_m)・[1/{(1+2βh)^2+1}^(1/2)]{(1+2βh)^2+1}/2
=(-H/2β)e^(-βℓ_m)・{(1+2βh)^2+1}^(1/2)
文献
日本道路協会:道路橋示方書Ⅳ下部構造編,pp.366,367,1996.