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地表面からh[m]の高さに水平方向力H[kN]のみ作用した時,地表面からx[m]の深さで地中杭に生ずる曲げmomentM_2[kN・m]は道示(文献)に拠り,
M_2=(-H/β)e^(-βx){βhcos(βx)+(1+βh)sin(βx)}.(1)
此処に,β≔{k_H・D/(4EI)}^(1/4)[m^-1],E:杭のYoung(弾性)係数[kN/m^2],I:杭の断面2次moment[m^4],D:杭の直径[m],e:Napier数≈2.71828
最大曲げmomentが生ずる深さx=ℓ_m[mm]でM_2は極大値を取るから,xに関する積の微分公式に拠り,
dM_2/dx=(-H/β)[(-β)e^(-βx){βhcos(βx)+(1+βh)sin(βx)}+e^(-βx){(-β^2・h)sin(βx)+(1+βh)βcos(βx)}]
=(-H/β)e^(-βx)[(-β){βhcos(βx)+(1+βh)sin(βx)}+{(-β^2・h)sin(βx)+(1+βh)βcos(βx)}]=0
(-H/β)e^(-βx)<0に拠り,
βcos(βx)-β(1+2βh)sin(βx)=0.
∴tan(βx)=1/(1+2βh)
即ち,βℓ_m=arc tan{1/(1+2βh)}∴ℓ_m=(1/β)arc tan{1/(1+2βh)}.(2)
∴{cos(βx)}^2=1/[1+{tan(βx)}^2}]
∴cos(βx)=1/[1+{tan(βx)}^2}]^(1/2)=1/[1+{1/(1+2βh)}^2}]^(1/2)=(1+2βh)/[(1+2βh)^2+1]^(1/2).(2')
式(1)に式(2),(2')を代入して,
M_2m=(-H/β)e^(-βℓ_m)・cos(βℓ_m){βh+(1+βh)tan(βℓ_m)}
=(-H/β)e^(-βℓ_m)・[(1+2βh)/{(1+2βh)^2+1}^(1/2)]・{βh+(1+βh)/(1+2βh)}.
=(-H/β)e^(-βℓ_m)・[1/{(1+2βh)^2+1}^(1/2)]・{βh(1+2βh)+1+βh}
=(-H/β)e^(-βℓ_m)・[1/{(1+2βh)^2+1}^(1/2)]{(1+2βh)^2+1}/2
=(-H/2β)e^(-βℓ_m)・{(1+2βh)^2+1}^(1/2)
文献
日本道路協会:道路橋示方書Ⅳ下部構造編,pp.366,367,1996.