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＜平面座標について＞
３級や４級の基準点がないと言う事なら、基準点を求めていないのだから、任意に３級基準点との関係性のない、４級基準点網を作れば良いでしょう。
それをベースとして中心線測量、縦横断測量をすれば良いです。
但し、図面に座標値が載っているのであれば公共基準点を基に測量しているはずですから、成果は必ずあります。
＜高さの基準点について＞
図面にBMが示されていないのであれば、任意設定(例えば何処かを100.00mとかにする)で構わないでしょう。

起工測量というのは、公示された図面に間違いが無いかを確認する測量で、測量した成果が無いと起工測量とは言わず、今やろうとしていることは新規測量でしょうね。
当然、横断図があれば横断図の現況を確認する測量をします。

正直、何の工事をするのかが具体的に書かれていないのでよく分かりませんが、そもそも簡易な補修工事、例えば側溝取替え工事などなら基準点も不要ですし、高さも任意で構わないでしょうね。
より明確な測量方法を知りたいのであれば、どんな工事なのかを記載しないと腑に落ちる回答は得られないと思います。
いずれにしても、何をするにせよ、発注者への確認が必要なのは言うまでもありません。